iPhoneにGmail通知がされなくて、長い間苦しんだ末、解決方法が見つかりましたので共有いたします。
私は、複数のアカウントを持っていて、あるアカウントのメールは通知されるのに、あるアカウントのメール（特定のラベルがつけられたもの）は通知されないという現象に悩んでおりました。
結論から言うと、私の悩みは、以下のステップ３（フィルタの設定）で「受信トレイをスキップする」の✔をはずすことで、解決しました。
そのフィルター（ラベル）、受信トレイをスキップしていませんか？？
ステップ１．スマホアプリを確認
- iPhoneのGmailアプリをタップ
- 左上の三本線をタップ
- 設定をタップ
- 変更するアカウント（メールアドレス）をタップ
- 通知をタップ
- すべての新着メール or 高優先先のみ をタップ
ステップ２．スマホ本体の設定
- 設定アプリをタップ
- Gmailをタップ
- 通知をタップ
- 通知を許可 を ON（緑）へ
- 通知させたい箇所をタップ
ステップ３．フィルタ（ラベル）の設定
- PCのGmailを開く
- 右上（？）の設定（歯車）をクリック
- 設定をクリック
- フィルタとブロック中のアドレスをクリック
- 通知を表示させたいラベルの付いている条件の「編集」をクリック
- 続行をクリック
- 受信トレイをスキップ（アーカイブ）するに✔が入っていたら、✔をはずす。
- フィルタを更新をクリック
これで解決！！したら嬉しいのですが...